Resolvedor de Equação Cúbica

Q: O que o discriminante me diz?

Seu sinal classifica as raízes: positivo significa uma raiz real e duas complexas conjugadas, zero significa que todas as raízes são reais com uma repetição, e negativo significa três raízes reais distintas.

Q: Por que três raízes são sempre retornadas?

Pelo teorema fundamental da álgebra uma cúbica tem exatamente três raízes contando a multiplicidade. Algumas podem ser complexas, e raízes repetidas aparecem mais de uma vez.

Q: O coeficiente principal a precisa ser diferente de zero?

Sim. Se a for zero a equação é no máximo quadrática, não cúbica, então o resolvedor exige um a diferente de zero e, caso contrário, reporta entrada inválida.

Q: Como as três raízes reais são encontradas quando o discriminante é negativo?

Pelo método trigonométrico, que usa uma fórmula de cosseno na cúbica reduzida para produzir três raízes reais distintas sem aritmética complexa.

Sobre esta ferramenta

Resolva qualquer equação cúbica ax³ + bx² + cx + d = 0 (com a ≠ 0). Digite os quatro coeficientes e o resolvedor retorna as três raízes, reais e complexas, junto com o discriminante e quantas raízes são reais. Roda inteiramente no seu navegador e recalcula conforme você digita.

A cúbica é primeiro reduzida com a substituição x = t - b/(3a) para t³ + pt + q = 0, e o discriminante Δ = (q/2)² + (p/3)³ decide o caso. Quando Δ > 0 há uma raiz real pela fórmula de Cardano mais um par complexo-conjugado. Quando Δ = 0 as raízes são reais com um valor repetido. Quando Δ < 0 há três raízes reais distintas encontradas com o método trigonométrico, tₖ = 2√(-p/3)·cos((1/3)·acos((3q/2p)·√(-3/p)) - 2πk/3). Cada t é deslocado de volta por -b/(3a) para dar x.

As raízes complexas são mostradas na forma a ± bi. Por exemplo x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 retorna as raízes 1, 2 e 3. O coeficiente a não pode ser zero, ou a equação não é cúbica.

Perguntas frequentes

O que o discriminante me diz?

Seu sinal classifica as raízes: positivo significa uma raiz real e duas complexas conjugadas, zero significa que todas as raízes são reais com uma repetição, e negativo significa três raízes reais distintas.

Por que três raízes são sempre retornadas?

Pelo teorema fundamental da álgebra uma cúbica tem exatamente três raízes contando a multiplicidade. Algumas podem ser complexas, e raízes repetidas aparecem mais de uma vez.

O coeficiente principal a precisa ser diferente de zero?

Sim. Se a for zero a equação é no máximo quadrática, não cúbica, então o resolvedor exige um a diferente de zero e, caso contrário, reporta entrada inválida.

Como as três raízes reais são encontradas quando o discriminante é negativo?

Pelo método trigonométrico, que usa uma fórmula de cosseno na cúbica reduzida para produzir três raízes reais distintas sem aritmética complexa.

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