このツールについて
任意の三次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0（a ≠ 0）を解きます。4つの係数を入力すると、ソルバーは実数と複素数を含む3つの解すべてを、判別式と実数解が何個あるかとあわせて返します。すべてブラウザ内で動作し、入力に応じて再計算されます。
三次方程式はまず x = t - b/(3a) の置換で t³ + pt + q = 0 に簡約され、判別式 Δ = (q/2)² + (p/3)³ が場合を決めます。Δ > 0 のときCardanoの公式による1つの実数解と、共役な複素数の対があります。Δ = 0 のとき解はすべて実数で重複する値を持ちます。Δ < 0 のときは三角関数法で求める3つの相異なる実数解があり、tₖ = 2√(-p/3)·cos((1/3)·acos((3q/2p)·√(-3/p)) - 2πk/3) です。各tは -b/(3a) だけ戻してxを得ます。
複素数解は a ± bi の形で示されます。例えば x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 は解 1、2、3 を返します。係数aはゼロであってはならず、そうでなければその方程式は三次ではありません。
よくある質問
判別式は何を教えてくれますか？
その符号が解を分類します。正なら1つの実数解と2つの共役複素数解、ゼロなら重複を含むすべて実数の解、負なら3つの相異なる実数解です。
なぜ常に3つの解が返されますか？
代数学の基本定理により、三次方程式は重複度を数えてちょうど3つの解を持ちます。一部は複素数のこともあり、重複する解は複数回現れます。
最高次の係数aは非ゼロでなければなりませんか？
はい。aがゼロなら方程式はせいぜい二次であって三次ではないので、ソルバーは非ゼロのaを要求し、そうでなければ無効な入力として報告します。
判別式が負のとき、3つの実数解はどう求めますか？
三角関数法によります。簡約した三次式にコサインの公式を用い、複素数の計算なしに3つの相異なる実数解を生み出します。