Selesaikan ax³+bx²+cx+d=0 untuk ketiga akar menggunakan Cardano dan metode trigonometri, dengan diskriminan dan jumlah akar real.
Masukkan a, b, c, dan d. a tidak boleh 0.
Tentang alat ini
Selesaikan persamaan kubik apa pun ax³ + bx² + cx + d = 0 (dengan a ≠ 0). Masukkan empat koefisien dan penyelesai mengembalikan ketiga akar, real dan kompleks, bersama diskriminan dan berapa banyak akar yang real. Alat berjalan sepenuhnya di browser Anda dan menghitung ulang saat Anda mengetik.
Kubik pertama-tama diturunkan dengan substitusi x = t - b/(3a) menjadi t³ + pt + q = 0, dan diskriminan Δ = (q/2)² + (p/3)³ menentukan kasusnya. Ketika Δ > 0 ada satu akar real dengan rumus Cardano plus sepasang konjugat kompleks. Ketika Δ = 0 akarnya real dengan nilai berulang. Ketika Δ < 0 ada tiga akar real berbeda yang ditemukan dengan metode trigonometri, tₖ = 2√(-p/3)·cos((1/3)·acos((3q/2p)·√(-3/p)) - 2πk/3). Setiap t digeser kembali sebesar -b/(3a) untuk menghasilkan x.
Akar kompleks ditampilkan dalam bentuk a ± bi. Sebagai contoh x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 mengembalikan akar 1, 2, dan 3. Koefisien a tidak boleh nol, atau persamaannya bukan kubik.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa yang diberitahukan diskriminan kepada saya?
Tandanya mengklasifikasikan akar: positif berarti satu akar real dan dua akar konjugat kompleks, nol berarti semua akar real dengan pengulangan, dan negatif berarti tiga akar real berbeda.
Mengapa tiga akar selalu dikembalikan?
Menurut teorema dasar aljabar, kubik memiliki tepat tiga akar dengan menghitung multiplisitas. Beberapa mungkin kompleks, dan akar berulang muncul lebih dari sekali.
Haruskah koefisien pemimpin a bukan nol?
Ya. Jika a nol, persamaannya paling banyak kuadrat, bukan kubik, jadi penyelesai memerlukan a bukan nol dan jika tidak melaporkan input tidak valid.
Bagaimana ketiga akar real ditemukan ketika diskriminan negatif?
Dengan metode trigonometri, yang menggunakan rumus kosinus pada kubik yang diturunkan untuk menghasilkan tiga akar real berbeda tanpa aritmetika kompleks.