이 도구에 대하여
임의의 삼차방정식 ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)을 풉니다. 네 계수를 입력하면 풀이기가 실근과 복소근을 포함한 세 근 전부와 함께 판별식, 그리고 몇 개의 근이 실수인지를 반환합니다. 전적으로 브라우저에서 실행되며 입력하는 대로 다시 계산합니다.
삼차식은 먼저 치환 x = t - b/(3a)로 t³ + pt + q = 0으로 낮추고, 판별식 Δ = (q/2)² + (p/3)³이 경우를 결정합니다. Δ > 0이면 Cardano's formula로 실근 하나와 켤레 복소근 쌍이 나옵니다. Δ = 0이면 근이 모두 실수이며 값이 중복됩니다. Δ < 0이면 삼각함수 방법으로 찾는 서로 다른 세 실근이 있습니다: tₖ = 2√(-p/3)·cos((1/3)·acos((3q/2p)·√(-3/p)) - 2πk/3). 각 t는 -b/(3a)만큼 되돌려 x를 얻습니다.
복소근은 a ± bi 형태로 표시됩니다. 예를 들어 x³ - 6x² + 11x - 6 = 0은 근 1, 2, 3을 반환합니다. 계수 a는 0이 아니어야 하며, 그렇지 않으면 삼차식이 아닙니다.
자주 묻는 질문
판별식은 무엇을 알려주나요?
그 부호가 근을 분류합니다: 양수이면 실근 하나와 켤레 복소근 둘, 0이면 근이 모두 실수이며 중복이 있고, 음수이면 서로 다른 세 실근입니다.
왜 항상 세 근을 반환하나요?
대수학의 기본정리에 따라 삼차식은 중복도를 세면 정확히 세 근을 가집니다. 일부는 복소수일 수 있고, 중복 근은 두 번 이상 나타납니다.
최고차 계수 a가 0이 아니어야 하나요?
네. a가 0이면 방정식은 삼차가 아니라 최대 이차이므로, 풀이기는 0이 아닌 a를 요구하고 그렇지 않으면 잘못된 입력으로 보고합니다.
판별식이 음수일 때 세 실근은 어떻게 찾나요?
삼각함수 방법으로 찾으며, 낮춘 삼차식에 코사인 공식을 적용해 복소수 산술 없이 서로 다른 세 실근을 만들어냅니다.