이 도구에 대하여
두 곡선 사이 넓이 계산기는 두 함수 f(x)와 g(x) 사이에 둘러싸인 영역을 계산하는 무료 브라우저 내 도구입니다. 넓이는 절대 차이의 적분 ∫|f(x) − g(x)| dx입니다 — 절댓값을 사용하여 f가 g보다 위인 부분과 g가 f보다 위인 부분이 상쇄되지 않고 둘 다 양으로 기여하게 합니다. 두 함수 모두 브라우저에서 로컬로 파싱되고 적분되므로 입력한 내용은 업로드되지 않습니다.
변수로 x를 사용해 두 함수를 입력하세요(예: f = x^2, g = x). 도구는 먼저 f − g의 부호 변화를 스캔하고 각각을 이분법으로 정제하여 곡선이 교차하는 모든 점을 찾은 뒤, 그 교점에서 구간을 나누고 각 조각에서 합성 심프슨 공식으로 차이를 적분하며, 각 조각의 절댓값을 취해 교차가 올바르게 처리되게 합니다. 명시적인 상하한 a와 b를 제공하거나, 둘 다 비워두면 계산기가 찾은 가장 바깥쪽 교점 사이 — 자연스럽게 둘러싸인 영역 — 를 적분합니다.
이는 유계 영역의 넓이에 대한 표준 미적분 II 응용입니다. 결과 패널은 총 둘러싸인 넓이, 사용된 유효 하한과 상한, 교점 x값 목록을 보고합니다. f(x) = x²와 g(x) = x의 경우 곡선이 x = 0과 x = 1에서 교차하며, 둘러싸인 넓이는 정확히 1/6 ≈ 0.166667이 됩니다.
자주 묻는 질문
두 곡선 사이 넓이 공식은 무엇인가요?
a에서 b까지 |f(x) − g(x)| dx의 적분입니다. 절댓값은 넓이가 어디서나 양이 되게 합니다. 임의의 소구간에서 이는 (위쪽 곡선 − 아래쪽 곡선)의 적분과 같으며, 그래서 교점을 먼저 찾아야 합니다.
상하한 a와 b를 반드시 입력해야 하나요?
아니요. 두 상하한을 비워두면 계산기가 곡선의 교점을 찾아 가장 바깥쪽 쌍 사이 — 완전히 둘러싸인 영역 — 를 적분합니다. 특정 구간에서의 넓이를 원할 때만 명시적 상하한을 입력하세요.
교차 영역은 어떻게 처리되나요?
도구가 f와 g의 모든 교점을 찾아 각각에서 구간을 나누고 각 조각에서 |f − g|를 따로 적분합니다. 각 조각이 절대 차이를 사용하므로 곡선이 뒤바뀌는 영역이 상쇄되지 않고 더해집니다.
y = x²와 y = x 사이 넓이는 얼마인가요?
x = 0과 x = 1에서 교차하며, 그 사이에서 x가 x²보다 위이므로 넓이는 ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6 ≈ 0.1667이며, 계산기가 자동으로 반환합니다.