UTILS.
۱۰۰٪ در مرورگر
🌓

ماشین‌حساب مساحت بین دو منحنی

محاسبه مساحت محصور بین f(x) و g(x) روی [a,b]، با یافتن تقاطع‌ها و انتگرال‌گیری |f−g| با قاعده سیمپسون تا نواحی متقاطع به‌درستی جمع شوند.

دو تابع از x وارد کنید. هر دو کران را خالی بگذارید تا از ناحیه محصور بین تقاطع‌های بیرونی استفاده شود.

درباره این ابزار

ماشین‌حساب مساحت بین دو منحنی یک ابزار رایگان و درون‌مرورگری است که ناحیه محصور بین دو تابع f(x) و g(x) را محاسبه می‌کند. مساحت انتگرال تفاضل قدر مطلق، ∫|f(x) − g(x)| dx است — با استفاده از قدر مطلق تا بخش‌هایی که f بالای g است و بخش‌هایی که g بالای f است هر دو به‌جای خنثی شدن به‌صورت مثبت مشارکت کنند. هر دو تابع به‌صورت محلی در مرورگر شما تجزیه و انتگرال‌گیری می‌شوند، بنابراین هیچ‌چیزی که وارد می‌کنید بارگذاری نمی‌شود.

دو تابع را با استفاده از x به‌عنوان متغیر وارد کنید (برای مثال f = x^2 و g = x). ابزار ابتدا هر نقطه‌ای را که منحنی‌ها همدیگر را قطع می‌کنند با اسکن تغییرات علامت f − g و پالایش هر یک با تنصیف پیدا می‌کند، سپس بازه را در آن تقاطع‌ها تقسیم می‌کند و تفاضل را روی هر قطعه با قاعده سیمپسون مرکب انتگرال‌گیری می‌کند و قدر مطلق هر قطعه را می‌گیرد تا تقاطع‌ها به‌درستی مدیریت شوند. می‌توانید کران‌های صریح a و b را ارائه دهید، یا هر دو را خالی بگذارید و ماشین‌حساب بین بیرونی‌ترین نقاط تقاطعی که پیدا می‌کند انتگرال‌گیری می‌کند — ناحیه محصور طبیعی.

این یک کاربرد استاندارد حساب دیفرانسیل ۲ برای مساحت یک ناحیه کران‌دار است. پنل نتیجه مساحت محصور کل، کران‌های مؤثر پایین و بالای استفاده‌شده و فهرست مقادیر x تقاطع را گزارش می‌دهد. برای f(x) = x² و g(x) = x منحنی‌ها در x = 0 و x = 1 قطع می‌شوند و مساحت محصور دقیقاً 1/6 ≈ 0.166667 می‌شود.

پرسش‌های پرتکرار

فرمول مساحت بین دو منحنی چیست؟
این ∫ از a تا b از |f(x) − g(x)| dx است. قدر مطلق تضمین می‌کند مساحت همه‌جا مثبت است؛ در هر زیربازه برابر با انتگرال (منحنی بالایی − منحنی پایینی) است، به همین دلیل ابتدا باید نقاط تقاطع پیدا شوند.
آیا باید کران‌های a و b را وارد کنم؟
خیر. اگر هر دو کران را خالی بگذارید، ماشین‌حساب نقاط تقاطع منحنی‌ها را پیدا می‌کند و بین بیرونی‌ترین جفت — ناحیه کاملاً محصور — انتگرال‌گیری می‌کند. کران‌های صریح را فقط زمانی وارد کنید که مساحت روی یک بازه خاص را می‌خواهید.
نواحی متقاطع چگونه مدیریت می‌شوند؟
ابزار هر تقاطع f و g را پیدا می‌کند، بازه را در هر یک تقسیم می‌کند و |f − g| را جداگانه روی هر قطعه انتگرال‌گیری می‌کند. چون هر قطعه از تفاضل قدر مطلق استفاده می‌کند، نواحی که منحنی‌ها در آنها جابجا می‌شوند به‌جای خنثی شدن جمع می‌شوند.
مساحت بین y = x² و y = x چقدر است؟
آنها در x = 0 و x = 1 قطع می‌شوند و بین آنها x بالای x² است، بنابراین مساحت ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6 ≈ 0.1667 است که ماشین‌حساب به‌صورت خودکار برمی‌گرداند.

ابزارهای بیشتر