このツールについて
2曲線間の面積計算機は、2つの関数 f(x) と g(x) に囲まれた領域を計算する無料のブラウザ内ツールです。面積は絶対差の積分 ∫|f(x) − g(x)| dx です。絶対値を使うことで、f が g より上にある部分と g が f より上にある部分の両方が打ち消し合うのではなく正に寄与します。両関数はブラウザ内でローカルに解析・積分されるため、入力した内容はアップロードされません。
x を変数として2つの関数を入力します（たとえば f = x^2、g = x）。ツールはまず f − g の符号変化を走査し各点を二分法で精緻化することで曲線が交わるすべての点を求め、次にそれらの交点で区間を分割し、各部分で差を合成シンプソン則で積分して、交差が正しく扱われるよう各部分の絶対値をとります。明示的な境界 a と b を指定することも、両方を空欄のままにして計算機が見つけた最も外側の交点間で積分すること（自然な囲まれた領域）もできます。
これは有界領域の面積を求める標準的な微積分学 II の応用です。結果パネルは総囲まれ面積、用いた実効的な下限と上限、交点の x 値のリストを報告します。f(x) = x² と g(x) = x では曲線は x = 0 と x = 1 で交わり、囲まれた面積はちょうど 1/6 ≈ 0.166667 となります。
よくある質問
2曲線間の面積の公式は何ですか？
a から b までの ∫ |f(x) − g(x)| dx です。絶対値により面積は至る所で正になります。任意の部分区間では（上の曲線 − 下の曲線）の積分に等しく、これが交点をまず求めなければならない理由です。
境界 a と b を入力しなければなりませんか？
いいえ。両方の境界を空欄のままにすると、計算機は曲線の交点を求め、最も外側の対の間（完全に囲まれた領域）で積分します。特定の区間での面積が欲しいときだけ明示的な境界を入力してください。
交差領域はどう扱われますか？
ツールは f と g のすべての交点を求め、各点で区間を分割し、各部分で |f − g| を個別に積分します。各部分が絶対差を使うため、曲線が入れ替わる領域は打ち消し合うのではなく加算されます。
y = x² と y = x の間の面積は？
x = 0 と x = 1 で交わり、その間では x が x² より上にあるので、面積は ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6 ≈ 0.1667 で、計算機が自動的に返します。