このツールについて
テイラー / マクローリン級数計算機は、関数 f(x) を中心点 a のまわりでべき級数として展開する無料のブラウザ内微積分ツールです。a = 0 のとき、これはマクローリン級数になります。微分ツールと同じ記号微分エンジンを用いて逐次導関数 f, f', f'', … を計算し、それぞれを中心で評価して係数 cₖ = f⁽ᵏ⁾(a) / k! を構築し、多項式 Pₙ(x) = Σ cₖ·(x − a)ᵏ を作ります。
すべてがブラウザ内でローカルに実行されるため、入力した内容はアップロードされません。中心 a（既定は 0）と項数 n を選ぶと、計算機は昇べきの順に簡約したテイラー多項式を返し、k、k 次導関数の値 f⁽ᵏ⁾(a)、その係数 cₖ を並べた項ごとの表を示します。各分母の階乗は反復的に計算されます。通常の演算子、べき乗の ^、括弧、定数 pi と e、sin, cos, exp, ln, sqrt のような関数を入力できます。
おなじみの展開がそのまま出てきます。exp(x) を 0 のまわりで展開すると 1 + x + x²/2 + x³/6 + …、sin(x) は x − x³/6 + x⁵/120 − …、1/(1 − x) は 1 + x + x² + … となります。関数やその導関数の1つが選んだ中心で未定義の場合（たとえば a = 0 での ln(x)）、そこでは級数を構築できないため、ツールは入力が無効であると報告します。これは Symbolab や eMathHelp のテイラー級数ページと同等です。
よくある質問
テイラー級数とマクローリン級数の違いは何ですか？
マクローリン級数は a = 0 を中心とするテイラー級数にすぎません。中心を 0 にするとマクローリン展開が得られ、他の任意の値 a にすると (x − a) のべきによる一般のテイラー級数が得られます。
係数はどう計算されますか？
ツールは f を記号的に微分して f, f', f'', … を得て、各導関数を中心 a で評価し、階乗 k! で割って cₖ = f⁽ᵏ⁾(a)/k! を作ります。各項は cₖ·(x − a)ᵏ で、これらを合計して多項式にします。
項数はいくつ使うべきですか？
項数 n は現れるべきの個数を制御し、定数項から次数 n − 1 までを含みます。項が多いほど中心付近でより近い近似が得られますが多項式は長くなります。級数を示すには 5 から 8 項が一般的です。
なぜ 0 での ln(x) で入力無効になるのですか？
ln(x) とその導関数は x = 0 で発散するため、そこにマクローリン級数は存在しません。関数の定義域内の中心を選んでください。たとえば ln(x) を a = 1 のまわりで展開すると、計算機は級数を生成します。