关于此工具
泰勒 / 麦克劳林级数计算器是一款免费的浏览器内微积分工具，可将函数 f(x) 在中心点 a 处展开为幂级数。当 a = 0 时，这就是麦克劳林级数。它使用与导数工具相同的符号求导引擎来计算逐阶导数 f、f'、f''、…，并在中心点处求每一个的值以构建系数 cₖ = f⁽ᵏ⁾(a) / k!，形成多项式 Pₙ(x) = Σ cₖ·(x − a)ᵏ。
所有运算都在你的浏览器本地完成，因此你输入的内容不会被上传。选择中心 a（默认 0）和项数 n，计算器会返回按升幂排列的化简泰勒多项式，以及一个逐项表格，列出 k、第 k 阶导数值 f⁽ᵏ⁾(a) 及其系数 cₖ。每个分母中的阶乘都以迭代方式计算。你可以输入常用运算符、^ 表示幂、括号、常数 pi 和 e，以及 sin、cos、exp、ln、sqrt 等函数。
熟悉的展开式可以直接得出：exp(x) 在 0 处得到 1 + x + x²/2 + x³/6 + …，sin(x) 得到 x − x³/6 + x⁵/120 − …，而 1/(1 − x) 得到 1 + x + x² + …。如果函数或它的某个导数在所选中心处无定义（例如 ln(x) 在 a = 0 处），工具会报告输入无效，因为在那里无法构建级数。它在功能上对标 Symbolab 和 eMathHelp 的泰勒级数页面。
常见问题
泰勒级数和麦克劳林级数有什么区别？
麦克劳林级数就是以 a = 0 为中心的泰勒级数。将中心设为 0，你得到麦克劳林展开；将它设为任何其他值 a，你得到按 (x − a) 的幂展开的一般泰勒级数。
系数是如何计算的？
工具对 f 进行符号求导得到 f、f'、f''、…，在中心 a 处求每个导数的值，再除以阶乘 k! 得到 cₖ = f⁽ᵏ⁾(a)/k!。每一项是 cₖ·(x − a)ᵏ，它们相加构成多项式。
我应该用多少项？
项数 n 控制出现多少个幂次，从常数项到 n − 1 次。更多的项在中心附近给出更接近的逼近，但多项式更长；用 5 到 8 项来说明一个级数是常见的。
为什么 ln(x) 在 0 处得到输入无效？
ln(x) 及其导数在 x = 0 处发散，因此那里不存在麦克劳林级数。请选择函数定义域内的中心——例如将 ln(x) 在 a = 1 处展开——计算器就能生成级数。