关于此工具
黎曼和计算器是一款免费的浏览器内微积分工具，通过将区间 [a, b] 分成 n 个等宽的子区间（宽度 Δx = (b − a)/n）并对矩形或梯形面积求和，来近似曲线 y = f(x) 下的面积。它计算全部四种标准法则：左和 Σf(xᵢ)·Δx（i = 0…n−1）、右和（i = 1…n）、使用每个子区间中心的中点和，以及梯形法则 (Δx/2)·[f(x₀) + 2·Σf(xᵢ) + f(xₙ)]。
所有计算都在你的浏览器本地完成，因此你输入的内容不会被发送到任何地方。选择区间、子区间数 n 以及要突出显示的法则；工具会在画布上将相应的矩形或梯形绘制在曲线上，让你看到这种近似如何覆盖该区域。用常用运算符、^ 表示幂、括号、常数 pi 和 e，以及 sin、cos、exp、ln、sqrt 等函数输入被积函数。
为了展示精度，计算器还会用复合辛普森法则计算一个高分辨率参考值，并报告你所选方法相对于它的绝对误差和相对误差。随着 n 的增大，矩形更紧密地贴合曲线，误差随之缩小——中点法则和梯形法则的收敛速度远快于左和或右和。对于 [0, 2] 上的 x²，精确面积是 8/3 ≈ 2.6667，仅用 10 个子区间的中点法则就已经非常接近。
常见问题
这四种法则有什么区别？
左和与右和分别以每个子区间左边缘或右边缘的函数值作为矩形高度；中点法则使用中心处的值；梯形法则取两个边缘值的平均，形成一个梯形。中点法则和梯形法则通常精确得多。
误差是如何度量的？
工具用复合辛普森法则（2000 个子区间）计算一个高精度参考积分，并将你所选的方法与之比较，报告绝对误差 |estimate − exact| 以及相对误差（占精确值的百分比）。
增大 n 有什么作用？
更多的子区间使每个矩形或梯形更窄，因此阶梯形更紧密地贴合曲线，误差减小。左和与右和大致以 1/n 的速度改善，而中点法则和梯形法则以 1/n² 改善，收敛快得多。
x² 在 [0, 2] 上的黎曼和是多少？
精确面积是 ∫₀² x² dx = 8/3 ≈ 2.6667。当 n = 10 时，左和偏小、右和偏大，而中点法则和梯形法则非常接近 2.6667；更大的 n 会使四者都收紧。