このツールについて
リーマン和計算機は、区間 [a, b] 上の曲線 y = f(x) の下の面積を、幅 Δx = (b − a)/n の n 個の等しい部分区間に分割し、長方形または台形の面積を合計して近似する無料のブラウザ内微積分ツールです。標準的な4つの規則をすべて計算します。i = 0…n−1 にわたる左和 Σf(xᵢ)·Δx、i = 1…n にわたる右和、各部分区間の中心を用いる中点和、そして台形則 (Δx/2)·[f(x₀) + 2·Σf(xᵢ) + f(xₙ)] です。
すべてがブラウザ内でローカルに計算されるため、入力した内容がどこかに送信されることはありません。区間、部分区間の数 n、強調する規則を選ぶと、ツールは対応する長方形または台形をキャンバス上の曲線に重ねて描き、近似が領域をどう覆うかを見られるようにします。被積分関数は通常の演算子、べき乗の ^、括弧、定数 pi と e、sin, cos, exp, ln, sqrt のような関数で入力します。
精度を示すため、計算機は合成シンプソン則で高解像度の基準値も計算し、選んだ手法のそれに対する絶対誤差と相対誤差を報告します。n を増やすと長方形は曲線により密着し、誤差は縮小します。中点則と台形則は左和や右和よりずっと速く収束します。x² の [0, 2] 上での厳密な面積は 8/3 ≈ 2.6667 で、わずか10部分区間の中点則ですでにかなり近い値になります。
よくある質問
4つの規則の違いは何ですか？
左和と右和は各部分区間の左端または右端での関数値を長方形の高さとして使い、中点則は中心での値を使い、台形則は両端の値を平均して台形を作ります。中点則と台形則は通常はるかに正確です。
誤差はどう測定されますか？
ツールは合成シンプソン則（2000部分区間）で高精度の基準積分を計算し、選んだ手法をそれと比較して、絶対誤差 |推定 − 厳密| と厳密値に対する百分率としての相対誤差を報告します。
n を増やすと何が起こりますか？
部分区間が増えると各長方形や台形が細くなるため、階段状が曲線により密着し誤差が減少します。左和と右和はおおよそ 1/n のように改善し、中点則と台形則は 1/n² のように改善してずっと速く収束します。
[0, 2] 上の x² のリーマン和は？
厳密な面積は ∫₀² x² dx = 8/3 ≈ 2.6667 です。n = 10 では左和が過小に、右和が過大に見積もる一方、中点則と台形則は 2.6667 にとても近づきます。n を大きくすると4つすべてが引き締まります。