このツールについて
弧長計算機は、直線距離ではなく曲がりくねった経路に沿って、2つの x 値の間の曲線 y = f(x) の真の長さを測る無料のブラウザ内ツールです。標準的な公式 L = a から b までの ∫ √(1 + [f′(x)]²) dx を適用し、曲線に沿った微小な線分 √(dx² + dy²) を合計します。導関数 f′(x) は数値的に計算されるため、入力する x の任意の関数を自分で微分することなく機能します。
すべてが小さな式パーサを使ってブラウザ内でローカルに計算されるため、入力した内容はアップロードされません。x を変数として関数を入力し（たとえば x^2、sin(x)、x^(3/2)）、区間の端点 a と b を入力すると、ツールは弧長の被積分関数を合成シンプソン則で積分し、正確な結果を得るために、連続する推定値が厳しい許容誤差で一致するまで部分区間の数を倍にしていきます。端点をどちらの順序で入力しても、その間の区間を使います。
弧長は、曲線に沿って進む距離（道路、電線、グラフの長さ）を求める古典的な微積分学 II の応用です。結果パネルは比較のために端点間の直線の弦距離も示し、これは常に真の弧長よりわずかに短くなります。y = x² の x = 0 から x = 1 までの弧長は約 1.478943 で、弦の √2 ≈ 1.414214 より明らかに長くなります。
よくある質問
弧長の公式は何ですか？
曲線 y = f(x) について、a から b までの弧長は L = a から b までの ∫ √(1 + [f′(x)]²) dx です。これは曲線に沿った微小な線分 √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx を合計することから来ます。
積分はどう評価されますか？
数値的に、合成シンプソン則でです。ツールは 1000 部分区間から始め、2つの連続する推定値が厳しい許容誤差で一致するまで繰り返し倍にするため、記号積分なしで滑らかな関数について正確な結果になります。
なぜ弧長は弦より長いのですか？
弦は端点間の直線距離ですが、弧長は曲線のすべての曲がりをたどります。曲線が2点間で直線でない限り、曲がりくねった経路は常に長くなるため、弧長 ≥ 弦距離 です。
y = x² の 0 から 1 までの弧長は？
約 1.478943 と評価されます。これは (0, 0) から (1, 1) までの直線の弦距離 √2 ≈ 1.414214 より長くなります。放物線が2つの端点の間で曲がっているからです。