이 도구에 대하여
호의 길이 계산기는 두 x값 사이에서 곡선 y = f(x)의 실제 길이를 직선 거리가 아닌 구불구불한 경로를 따라 측정하는 무료 브라우저 내 도구입니다. 표준 공식 L = a에서 b까지 √(1 + [f′(x)]²) dx의 적분을 적용하며, 이는 곡선을 따라 미소 구간 √(dx² + dy²)를 합산합니다. 도함수 f′(x)는 수치적으로 계산되므로 입력하는 x에 대한 어떤 함수든 직접 미분하지 않고도 작동합니다.
모든 계산은 작은 식 파서를 사용해 브라우저에서 로컬로 이루어지므로 입력한 내용은 업로드되지 않습니다. 변수로 x를 사용해 함수를 입력하고(예: x^2, sin(x), 또는 x^(3/2)) 구간 끝점 a와 b를 입력하면, 도구가 합성 심프슨 공식으로 호의 길이 피적분 함수를 적분하며, 연속된 추정값이 엄격한 허용 오차 이내로 일치할 때까지 소구간 수를 두 배로 늘려 정확한 결과를 냅니다. 끝점을 어느 순서로 입력하든 그 사이의 구간을 사용합니다.
호의 길이는 곡선을 따라 이동한 거리 — 도로, 전선, 또는 그래프의 길이 — 에 대한 고전적인 미적분 II 응용입니다. 결과 패널은 비교를 위해 끝점 사이의 직선 현 거리도 보여주며, 이는 항상 실제 호의 길이보다 약간 짧습니다. x = 0에서 x = 1까지 y = x²의 경우 호의 길이는 약 1.478943으로, 현 √2 ≈ 1.414214보다 눈에 띄게 깁니다.
자주 묻는 질문
호의 길이 공식은 무엇인가요?
곡선 y = f(x)에 대해 a에서 b까지의 호의 길이는 L = a에서 b까지 √(1 + [f′(x)]²) dx의 적분입니다. 이는 곡선을 따라 작은 구간 √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx를 합산하는 데서 나옵니다.
적분은 어떻게 평가되나요?
수치적으로, 합성 심프슨 공식으로요. 도구가 소구간 1000개에서 시작하여 두 연속 추정값이 엄격한 허용 오차 이내로 일치할 때까지 반복적으로 두 배로 늘리므로, 매끄러운 함수에 대해 기호 적분 없이 결과가 정확합니다.
왜 호의 길이가 현보다 긴가요?
현은 끝점 사이의 직선 거리인 반면, 호의 길이는 곡선의 모든 굴곡을 따라갑니다. 곡선이 점들 사이 직선이 아닌 한, 구불구불한 경로가 항상 더 길므로 호의 길이 ≥ 현 거리입니다.
0에서 1까지 y = x²의 호의 길이는 얼마인가요?
약 1.478943으로 평가됩니다. 이는 (0, 0)에서 (1, 1)까지의 직선 현 거리 √2 ≈ 1.414214보다 긴데, 포물선이 두 끝점 사이에서 휘어지기 때문입니다.