이 도구에 대하여
임계점 및 극값 계산기는 곡선 y = f(x)의 모양을 분석하는 무료 브라우저 내 도구입니다. 검색 구간에서 f′의 부호 변화를 스캔하고 각각을 이분법으로 정제하여 임계점 — 1계 도함수 f′(x)가 0인 x값(수평 접선) — 을 찾습니다. 1계와 2계 도함수 모두 수치적으로 계산되므로 직접 미분하지 않고도 x에 대한 어떤 함수든 입력할 수 있습니다.
모든 계산은 브라우저에서 로컬로 이루어지므로 입력한 내용은 업로드되지 않습니다. 변수로 x를 사용해 함수를 입력하고(예: x^3 - 3*x, sin(x), 또는 x^4 - 2*x^2) 검색 구간을 입력하면, 도구가 각 임계점을 좌표 (x, f(x))와 분류와 함께 나열합니다. 각 임계점은 2계 도함수 판정법으로 분류됩니다: f″ > 0이면 극소(아래로 볼록), f″ < 0이면 극대(위로 볼록)이며, f″가 0에 가까울 때는 1계 도함수 부호 변화 판정으로 되돌아가 극값과 안장점/변곡점을 구분합니다.
계산기는 변곡점 — 오목·볼록이 뒤집히는 곳, 즉 f″(x)가 부호를 바꾸는 곳 — 도 찾아 같은 표에서 x로 정렬하여 보고합니다. 이는 미적분 I의 표준 곡선 그리기 도구 모음입니다. f(x) = x³ − 3x의 경우 x = −1에서 극대(값 2), x = 1에서 극소(값 −2), x = 0에서 변곡점을 찾습니다.
자주 묻는 질문
임계점이란 무엇인가요?
f의 임계점은 f′(x) = 0이거나 f′이 정의되지 않는 x값입니다 — 즉 접선이 수평이거나 도함수가 존재하지 않는 곳입니다. 매끄러운 함수의 극대와 극소는 임계점에서만 발생할 수 있습니다.
2계 도함수 판정법은 어떻게 작동하나요?
임계점 x_c에서 f″(x_c) > 0이면 곡선이 위로 볼록하므로 극소이고, f″(x_c) < 0이면 아래로 볼록하므로 극대입니다. f″(x_c) = 0이면 판정이 불확실하며 이 도구는 양쪽에서 f′의 부호를 확인하는 것으로 되돌아갑니다.
변곡점이란 무엇인가요?
변곡점은 곡선의 오목·볼록이 바뀌는 곳, 즉 2계 도함수 f″(x)가 부호를 바꾸는 곳입니다. 계산기는 f″의 부호 변화를 스캔하고 정제하여 이를 찾으며, 임계점과 함께 나열합니다.
왜 검색 구간을 설정하나요?
수치 스캔은 지정한 x 범위 안에서만 임계점과 변곡점을 찾습니다. 더 멀리 있는 점을 잡으려면 구간을 넓히고, 특정 영역에 집중하려면 좁히세요. 구간 가장자리에 정확히 있는 점은 놓칠 수 있으므로 여유를 두세요.