이 도구에 대하여
정적분 계산기는 곡선 아래의 부호 있는 넓이 — 하한 a에서 상한 b까지 f(x)의 정적분 — 을 계산하는 무료 브라우저 내 미적분 도구입니다. 소구간 쌍에 포물선을 맞추는 고정밀 수치 방법인 합성 심프슨 공식을 사용합니다: h = (b − a)/n일 때 (h/3)·[f(x₀) + f(xₙ) + 4·Σf(홀수) + 2·Σf(짝수)]를 계산합니다. 세분 수 n(기본값 1000, 짝수 유지)은 더 높은 정밀도를 위해 조정할 수 있습니다.
모든 계산은 브라우저에서 로컬로 이루어지므로 입력한 내용은 어디에도 전송되지 않습니다. 피적분 함수는 +, −, *, / 및 ^, 괄호, 상수 pi와 e, sin, cos, exp, ln, sqrt 같은 함수로 입력할 수 있습니다. 상하한은 일반 숫자나 pi 또는 2*e 같은 간단한 식을 받으며, 이상 적분을 위해 inf나 -inf를 입력할 수 있습니다. 이 경우 도구는 큰 유한 극한에서 잘라내 처리하며 근사임을 표시합니다.
피적분 함수가 다항식(c·xᵏ 같은 항들의 합)일 때 계산기는 정확한 기호적 부정적분 F(x)도 유도하고, 미적분의 기본정리를 통해 수치 답을 F(b) − F(a)와 교차 검증합니다. 예를 들어 0에서 1까지 x²의 적분은 정확히 1/3 ≈ 0.3333333이며, 심프슨 추정값과 부정적분 x³/3 모두와 일치합니다.
자주 묻는 질문
어떤 방법을 사용하나요?
짝수 개의 소구간 n을 사용하는 합성 심프슨 공식입니다. n+1개의 등간격 점에서 f를 표본화하고 1, 4, 2, 4, …, 4, 1로 가중치를 부여하여 4차 정확도를 제공하며, 같은 점 수 대비 기본 리만 합보다 훨씬 우수합니다.
무한대까지의 이상 적분도 가능한가요?
부분적으로요. 상하한으로 inf나 -inf를 입력하면 도구가 영역을 큰 유한 극한에서 잘라내고 결과를 근사로 표시합니다. 이는 e^(-x)처럼 빠르게 감소하는 피적분 함수에는 잘 작동하지만, 천천히 감소하는 함수에는 부정확할 수 있습니다.
정확한 답을 주나요?
다항식 피적분 함수의 경우 기호적 부정적분을 유도하고 수치 추정값과 함께 정확한 값 F(b) − F(a)를 알려줍니다. 다른 함수의 경우 닫힌 형태의 부정적분이 존재하지 않을 수 있으므로 고정밀 심프슨 추정값만 표시됩니다.
0에서 1까지 x²의 적분은 얼마인가요?
정확히 1/3 ≈ 0.3333333입니다. 부정적분은 x³/3이므로 F(1) − F(0) = 1/3 − 0 = 1/3이며, 이는 계산기가 반환하는 심프슨 공식 값과 일치합니다.