이 도구에 대하여
테일러 / 매클로린 급수 계산기는 함수 f(x)를 중심점 a를 기준으로 거듭제곱 급수로 전개하는 무료 브라우저 내 미적분 도구입니다. a = 0일 때 이것이 매클로린 급수입니다. 도함수 도구와 같은 기호 미분 엔진을 사용하여 연속된 도함수 f, f', f'', …을 계산하고, 각각을 중심에서 평가하여 계수 cₖ = f⁽ᵏ⁾(a) / k!를 만들어 다항식 Pₙ(x) = Σ cₖ·(x − a)ᵏ를 형성합니다.
모든 계산은 브라우저에서 로컬로 실행되므로 입력한 내용은 업로드되지 않습니다. 중심 a(기본값 0)와 항의 개수 n을 선택하면 계산기가 오름차순 거듭제곱으로 단순화된 테일러 다항식을 k, k번째 도함수 값 f⁽ᵏ⁾(a), 그 계수 cₖ를 나열하는 항별 표와 함께 반환합니다. 각 분모의 계승은 반복적으로 계산됩니다. 일반 연산자, 거듭제곱에는 ^, 괄호, 상수 pi와 e, sin, cos, exp, ln, sqrt 같은 함수를 입력할 수 있습니다.
익숙한 전개가 바로 나옵니다: 0을 중심으로 한 exp(x)는 1 + x + x²/2 + x³/6 + …, sin(x)는 x − x³/6 + x⁵/120 − …, 1/(1 − x)는 1 + x + x² + …를 줍니다. 함수나 그 도함수 중 하나가 선택한 중심에서 정의되지 않으면(예: a = 0에서 ln(x)) 그곳에서는 급수를 만들 수 없으므로 도구가 잘못된 입력을 보고합니다. 이는 Symbolab과 eMathHelp의 테일러 급수 페이지를 반영합니다.
자주 묻는 질문
테일러와 매클로린의 차이는 무엇인가요?
매클로린 급수는 a = 0을 중심으로 한 테일러 급수일 뿐입니다. 중심을 0으로 설정하면 매클로린 전개를 얻고, 다른 값 a로 설정하면 (x − a)의 거듭제곱으로 된 일반 테일러 급수를 얻습니다.
계수는 어떻게 계산되나요?
도구가 f를 기호적으로 미분하여 f, f', f'', …을 얻고, 각 도함수를 중심 a에서 평가한 뒤 계승 k!로 나누어 cₖ = f⁽ᵏ⁾(a)/k!를 만듭니다. 각 항은 cₖ·(x − a)ᵏ이며 다항식으로 합산됩니다.
항은 몇 개를 사용해야 하나요?
항의 개수 n은 상수항부터 차수 n − 1까지 몇 개의 거듭제곱이 나타날지 조절합니다. 항이 많을수록 중심 근처에서 더 가까운 근사를 주지만 다항식이 길어집니다. 급수를 설명하기에는 5~8항이 일반적입니다.
왜 0에서 ln(x)에 대해 잘못된 입력이 나오나요?
ln(x)와 그 도함수는 x = 0에서 발산하므로 그곳에서는 매클로린 급수가 존재하지 않습니다. 함수의 정의역 안쪽 중심을 고르세요 — 예를 들어 ln(x)를 a = 1을 중심으로 전개하면 — 계산기가 급수를 생성합니다.