이 도구에 대하여
리만 합 계산기는 구간 [a, b]에서 곡선 y = f(x) 아래의 넓이를 폭 Δx = (b − a)/n인 n개의 같은 소구간으로 나누고 직사각형 또는 사다리꼴 넓이를 합산하여 근사하는 무료 브라우저 내 미적분 도구입니다. 네 가지 표준 규칙을 모두 계산합니다: i = 0…n−1에 대한 좌측 합 Σf(xᵢ)·Δx, i = 1…n에 대한 우측 합, 각 소구간의 중심을 사용하는 중점 합, 그리고 사다리꼴 규칙 (Δx/2)·[f(x₀) + 2·Σf(xᵢ) + f(xₙ)].
모든 계산은 브라우저에서 로컬로 이루어지므로 입력한 내용은 어디에도 전송되지 않습니다. 구간, 소구간 수 n, 강조할 규칙을 선택하면 도구가 캔버스에서 곡선 위에 해당 직사각형이나 사다리꼴을 그려 근사가 영역을 어떻게 덮는지 볼 수 있게 합니다. 피적분 함수는 일반 연산자, 거듭제곱에는 ^, 괄호, 상수 pi와 e, sin, cos, exp, ln, sqrt 같은 함수로 입력하세요.
정확도를 보여주기 위해 계산기는 합성 심프슨 공식으로 고해상도 기준값도 계산하고, 선택한 방법의 절대 오차와 상대 오차를 그에 대비하여 보고합니다. n을 늘리면 직사각형이 곡선에 더 밀착하고 오차가 줄어듭니다 — 중점과 사다리꼴 규칙은 좌측이나 우측 합보다 훨씬 빠르게 수렴합니다. [0, 2]에서 x²의 경우 정확한 넓이는 8/3 ≈ 2.6667이며, 소구간 10개만으로도 중점 규칙은 이미 매우 가깝습니다.
자주 묻는 질문
네 가지 규칙의 차이는 무엇인가요?
좌측과 우측 합은 각 소구간의 왼쪽 또는 오른쪽 가장자리에서의 함숫값을 직사각형 높이로 사용하고, 중점 규칙은 중심에서의 값을 사용하며, 사다리꼴 규칙은 두 가장자리 값을 평균 내어 사다리꼴을 만듭니다. 중점과 사다리꼴이 보통 훨씬 더 정확합니다.
오차는 어떻게 측정되나요?
도구가 합성 심프슨 공식(소구간 2000개)으로 고정밀 기준 적분을 계산하고 선택한 방법을 그와 비교하여, 절대 오차 |추정값 − 정확값|과 정확값에 대한 백분율로서의 상대 오차를 보고합니다.
n을 늘리면 어떻게 되나요?
소구간이 많아지면 각 직사각형이나 사다리꼴이 좁아져 계단이 곡선에 더 밀착하고 오차가 감소합니다. 좌측과 우측 합은 대략 1/n처럼 개선되는 반면, 중점과 사다리꼴은 1/n²처럼 개선되어 훨씬 빠르게 수렴합니다.
[0, 2]에서 x²의 리만 합은 얼마인가요?
정확한 넓이는 ∫₀² x² dx = 8/3 ≈ 2.6667입니다. n = 10일 때 좌측 합은 과소평가하고 우측 합은 과대평가하는 반면, 중점과 사다리꼴 규칙은 2.6667에 매우 가깝게 도달합니다. n이 클수록 네 가지 모두 좁혀집니다.