关于此工具
临界点与极值计算器是一款免费的浏览器内工具，用于分析曲线 y = f(x) 的形状。它通过在搜索区间内扫描 f′ 的符号变化并用二分法细化每一处，来找出临界点——即一阶导数 f′(x) 等于零（水平切线）的 x 值。一阶和二阶导数都以数值方式计算，因此你可以输入关于 x 的任何函数，而无需自己求导。
所有计算都在你的浏览器本地完成，因此你输入的内容不会被上传。以 x 作为变量输入函数（例如 x^3 - 3*x、sin(x) 或 x^4 - 2*x^2）和一个搜索区间，工具会列出每个临界点及其坐标 (x, f(x)) 及分类。每个临界点用二阶导数检验分类：f″ > 0 表示局部极小值（下凸），f″ < 0 表示局部极大值（上凸），当 f″ 接近零时，它退回到一阶导数符号变化检验，以区分极值和鞍点/拐点。
计算器还会找出拐点——即凹凸性翻转的地方，也就是 f″(x) 改变符号的地方——并在同一张表中按 x 排序报告它们。这是微积分一中标准的曲线描绘工具集。对于 f(x) = x³ − 3x，它会找到 x = −1 处的局部极大值（值为 2）、x = 1 处的局部极小值（值为 −2），以及 x = 0 处的拐点。
常见问题
什么是临界点？
f 的临界点是使 f′(x) = 0 或 f′ 无定义的 x 值——也就是切线水平或导数不存在的地方。光滑函数的局部极大值和极小值只能出现在临界点处。
二阶导数检验如何工作？
在临界点 x_c 处，如果 f″(x_c) > 0，曲线下凸，因此它是局部极小值；如果 f″(x_c) < 0，曲线上凸，因此是局部极大值。如果 f″(x_c) = 0，检验不确定，本工具退回到检查 f′ 在两侧的符号。
什么是拐点？
拐点是曲线凹凸性改变的地方，意味着二阶导数 f″(x) 改变符号。计算器通过扫描 f″ 的符号变化并细化它们来找出这些点，并将它们与临界点一起列出。
为什么我要设置搜索区间？
数值扫描只在你指定的 x 范围内寻找临界点和拐点。加宽区间以捕捉更远处的点，或缩窄区间以聚焦某个区域。恰好位于区间边缘的点可能被漏掉，因此请留出一些余量。