关于此工具
弧长计算器是一款免费的浏览器内工具，用于度量曲线 y = f(x) 在两个 x 值之间的真实长度，即沿着蜿蜒的路径而非直线距离。它应用标准公式 L = 从 a 到 b 的 ∫ √(1 + [f′(x)]²) dx，将沿曲线的无穷小段 √(dx² + dy²) 累加起来。导数 f′(x) 以数值方式计算，因此你输入的任何关于 x 的函数都可用，而无需你求导。
所有计算都用一个小型表达式解析器在你的浏览器本地完成，因此你输入的内容不会被上传。以 x 作为变量输入函数（例如 x^2、sin(x) 或 x^(3/2)）和区间端点 a 与 b，工具会用复合辛普森法则对弧长被积函数积分，不断将子区间数加倍，直到相邻的估计值在很紧的容差内一致，从而得到精确结果。如果你以任一顺序输入端点，它都会使用它们之间的区间。
弧长是微积分二中求沿曲线所行距离的经典应用——道路、电线或图像的长度。结果面板还会显示两端点之间的直线弦距离以作比较，弦距离总是略短于真实弧长。对于 y = x² 从 x = 0 到 x = 1，弧长约为 1.478943，明显长于弦 √2 ≈ 1.414214。
常见问题
弧长公式是什么？
对于曲线 y = f(x)，从 a 到 b 的弧长是 L = 从 a 到 b 的 ∫ √(1 + [f′(x)]²) dx。它来自沿曲线累加微小段 √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx。
积分是如何求值的？
用数值方法，采用复合辛普森法则。工具从 1000 个子区间开始，反复将其加倍，直到相邻两个估计值在很紧的容差内一致，因此无需任何符号积分，即可对光滑函数得到精确结果。
为什么弧长比弦长？
弦是两端点之间的直线距离，而弧长沿着曲线的每一次弯曲。除非曲线是两点之间的直线，否则蜿蜒的路径总是更长，因此弧长 ≥ 弦距离。
y = x² 从 0 到 1 的弧长是多少？
它求得约为 1.478943。这比从 (0, 0) 到 (1, 1) 的直线弦距离 √2 ≈ 1.414214 要长，因为抛物线在两端点之间弯曲。