关于此工具
平均变化率与割线计算器是一款免费的浏览器内工具，用于度量函数在一个区间上平均变化的快慢。给定 f(x) 和两个端点 a 与 b，平均变化率是差商 m = (f(b) − f(a)) / (b − a)——即连接曲线上两点 (a, f(a)) 和 (b, f(b)) 的割线的斜率。这是导数的离散、区间版本，而导数是单个点处的瞬时变化率。
所有算术运算都用一个小型表达式解析器在你的浏览器本地完成，因此你输入的内容不会离开你的设备。以 x 作为变量输入函数（例如 x^2、sin(x) 或 1/x）和两个端点，计算器会返回平均变化率（割线斜率）、两个端点 (a, f(a)) 和 (b, f(b))，以及割线本身的斜截式 y = m·x + c 和点斜式。
割线是微分学的基础：当第二个点 b 趋近 a 时，割线斜率趋近切线斜率，平均变化率变为瞬时变化率——即导数 f′(a)。对于 f(x) = x² 在 [1, 3] 上，平均变化率是 (9 − 1)/(3 − 1) = 4，因此割线是 y = 4x − 3。
常见问题
平均变化率的公式是什么？
它是区间 [a, b] 上的差商 m = (f(b) − f(a)) / (b − a)。它等于连接 f 图像上两点 (a, f(a)) 和 (b, f(b)) 的割线的斜率。
什么是割线？
割线是一条经过曲线上两点的直线。它的斜率是函数在这两点之间的平均变化率，其方程为 y = m(x − a) + f(a)，其中 m 是该斜率。
割线与切线有何关联？
当两个端点彼此靠近（b → a）时，割线趋近切线，平均变化率趋近瞬时变化率——即导数 f′(a)。割线是切线的区间逼近。
x² 在 [1, 3] 上的平均变化率是多少？
f(1) = 1，f(3) = 9，因此平均变化率是 (9 − 1)/(3 − 1) = 8/2 = 4。所以经过 (1, 1) 和 (3, 9) 的割线是 y = 4x − 3。