关于此工具
牛顿法求根器是一款免费的浏览器内计算器，使用牛顿–拉弗森迭代 x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f′(x_k) 数值求解 f(x) = 0。从种子值 x₀ 出发，每一步沿当前点的切线向下走到它与 x 轴的交点，该交点成为下一个估计值。导数 f′ 用对称差分数值求得，因此你输入的任何表达式——多项式、根式、三角、指数、对数——都可用，而无需你提供导数。
所有运算都用一个小型表达式解析器在你的浏览器本地完成，因此你输入的内容不会被上传。以 x 作为变量输入 f(x)（例如 x^2 - 2、cos(x) - x 或 exp(x) - 3*x），设置一个初始猜测，并可选地调整容差和最大迭代次数。工具会迭代直到步长 |x_{k+1} − x_k| 或残差 |f(x_k)| 降到容差以下，或达到迭代上限，并且如果导数变平（接近零）它会安全停止，因此绝不会返回错误的数字。
结果面板报告收敛得到的根、该根处的残差 f(root)，以及所需的迭代次数，并附带一个完整的迭代表格，列出每一步的 k、x_k、f(x_k) 和误差。牛顿法在单根附近以二次速度收敛——正确位数每步大致翻倍——这就是为什么 x² − 2 从 x₀ = 1.5 出发，只需寥寥几次迭代就能精确得到 √2 ≈ 1.414214。
常见问题
牛顿法的公式是什么？
它是迭代 x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f′(x_k)。从几何上看，每一步沿 x_k 处的切线走到它与 x 轴的交点。从一个好的初始猜测反复迭代，它会快速收敛到 f(x) = 0 的一个根。
导数是如何计算的？
用数值方法，采用对称（中心）差分 f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h)，其中 h 是一个按 x 缩放的小量。这意味着你只需输入 f(x)——无需输入导数——任何受支持的函数都能工作。
为什么它未能收敛？
如果初始猜测不佳、迭代值落在 f′(x) ≈ 0 处（切线变平），或者附近没有实根，牛顿法都可能失败。请尝试一个更接近你预期根位置的不同种子，或增大最大迭代次数。
容差和最大迭代次数控制什么？
容差是停止阈值：当步长或 |f(x_k)| 降到它以下时迭代结束（默认 1e-10）。最大迭代次数限制循环，使其始终终止；默认为 50，上限为 200。