UTILS.
100% trong trình duyệt
🎯

Bộ Tìm Nghiệm Bằng Phương Pháp Newton

Tìm nghiệm của f(x)=0 bằng lặp Newton–Raphson từ một dự đoán ban đầu, hiển thị mọi giá trị lặp, phần dư f(xₖ), và đường hội tụ.

Nhập f(x) dùng x làm biến và một dự đoán ban đầu. Đạo hàm được tính theo số trị.

Về công cụ này

Bộ Tìm Nghiệm Bằng Phương Pháp Newton là một máy tính miễn phí, chạy hoàn toàn trên trình duyệt, giải f(x) = 0 theo số trị bằng lặp Newton–Raphson x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f′(x_k). Bắt đầu từ một giá trị mầm x₀, mỗi bước đi theo tiếp tuyến tại điểm hiện tại xuống nơi nó cắt trục x, và giao điểm đó trở thành ước lượng tiếp theo. Đạo hàm f′ được đánh giá theo số trị bằng một sai phân đối xứng, nên bất kỳ biểu thức nào bạn nhập — đa thức, căn, lượng giác, mũ, logarit — đều hoạt động mà bạn không cần cung cấp đạo hàm.

Mọi thứ chạy cục bộ trong trình duyệt của bạn với một bộ phân tích biểu thức nhỏ, nên không có gì bạn nhập bị tải lên. Nhập f(x) dùng x làm biến (ví dụ x^2 - 2, cos(x) - x, hay exp(x) - 3*x), đặt một dự đoán ban đầu, và tùy chọn điều chỉnh dung sai và số lần lặp tối đa. Công cụ lặp cho đến khi kích thước bước |x_{k+1} − x_k| hay phần dư |f(x_k)| rơi xuống dưới dung sai, hoặc cho đến khi đạt giới hạn lặp, và nó dừng an toàn nếu đạo hàm phẳng đi (gần bằng không) nên không bao giờ trả về một con số vô nghĩa.

Bảng kết quả báo cáo nghiệm đã hội tụ, phần dư f(root) tại nghiệm đó, và cần bao nhiêu lần lặp, cùng với một bảng lặp đầy đủ liệt kê k, x_k, f(x_k), và sai số tại mỗi bước. Phương pháp Newton hội tụ bậc hai gần một nghiệm đơn — số chữ số đúng đại khái tăng gấp đôi mỗi bước — đó là lý do x² − 2 từ x₀ = 1.5 chạm chính xác √2 ≈ 1.414214 chỉ trong vài lần lặp.

Câu hỏi thường gặp

Công thức phương pháp Newton là gì?
Đó là lặp x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f′(x_k). Về mặt hình học mỗi bước đi theo tiếp tuyến tại x_k đến nơi nó gặp trục x. Lặp lại từ một dự đoán ban đầu tốt, nó hội tụ nhanh về một nghiệm của f(x) = 0.
Đạo hàm được tính như thế nào?
Theo số trị, với một sai phân đối xứng (trung tâm) f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) dùng một h nhỏ tỉ lệ với x. Điều này nghĩa là bạn chỉ nhập f(x) — không cần gõ đạo hàm — và mọi hàm được hỗ trợ đều hoạt động.
Tại sao nó không hội tụ được?
Phương pháp Newton có thể thất bại nếu dự đoán ban đầu kém, nếu giá trị lặp rơi vào nơi f′(x) ≈ 0 (tiếp tuyến phẳng), hoặc nếu hàm không có nghiệm thực nào ở gần. Hãy thử một giá trị mầm khác gần hơn nơi bạn dự kiến nghiệm, hoặc tăng số lần lặp tối đa.
Dung sai và số lần lặp tối đa kiểm soát điều gì?
Dung sai là ngưỡng dừng: lặp kết thúc khi kích thước bước hay |f(x_k)| rơi xuống dưới nó (mặc định 1e-10). Số lần lặp tối đa giới hạn vòng lặp để nó luôn kết thúc; mặc định là 50 và bị giới hạn ở 200.

Công cụ khác