UTILS.
100% trong trình duyệt

Máy Tính Giới Hạn

Ước lượng giới hạn hai phía hoặc một phía của f(x) khi x tiến tới một giá trị hoặc ±vô cực bằng lấy mẫu số trị, và đánh dấu khi giới hạn không tồn tại.

Nhập f(x) và giá trị mà x tiến tới. Dùng inf hay -inf cho giới hạn tại vô cực.

Về công cụ này

Máy Tính Giới Hạn là một công cụ giải tích miễn phí, chạy hoàn toàn trên trình duyệt, ước lượng giới hạn của một hàm số f(x) khi x tiến tới một điểm c được chọn — bao gồm c = +vô cực hay −vô cực — bằng cách lấy mẫu hàm số theo số trị. Với c hữu hạn, nó tính f tại các điểm tiến gần theo cấp số nhân từ mỗi phía, c ± 10⁻¹, 10⁻², … xuống đến 10⁻¹³, và quan sát nơi các giá trị ổn định. Với c = ±vô cực, nó thay vào lấy mẫu tại x = ±10¹, 10², … để xem hành vi ở đầu mút.

Mọi thứ được tính cục bộ trong trình duyệt của bạn, nên dữ liệu nhập không bao giờ rời khỏi thiết bị. Bạn có thể chọn giới hạn hai phía hoặc giới hạn ở phía trái hay phía phải. Công cụ so sánh các dãy trái và phải: nếu cả hai hội tụ về cùng một giá trị L thì báo cáo giới hạn hai phía đó; nếu chúng khác nhau thì hiển thị từng giá trị một phía và đánh dấu rằng giới hạn không tồn tại. Các độ lớn vượt kiểm soát được báo cáo là +∞ hay −∞.

Nhập f(x) với các toán tử và hàm thông thường (sin, cos, exp, ln, sqrt, …), các hằng số pi và e, và phép nhân ngầm định như 2x. Điểm tiến tới chấp nhận số, các biểu thức nhỏ, hay inf / -inf. Một ví dụ kinh điển là sin(x)/x khi x → 0: mặc dù công thức là 0/0 ngay tại điểm đó, các mẫu từ cả hai phía hội tụ về 1, nên máy tính báo cáo giới hạn bằng 1.

Câu hỏi thường gặp

Nó tính giới hạn như thế nào?
Theo số trị. Nó tính f(x) tại một dãy các điểm tiến tới c — từ cả hai phía cho giới hạn hai phía — và báo cáo giá trị mà các mẫu hội tụ về. Điều này ước lượng giới hạn mà không cần đại số ký hiệu, nên nó hoạt động với hầu như mọi biểu thức bạn có thể nhập.
'không tồn tại' ở đây có nghĩa là gì?
Với giới hạn hai phía, nếu các mẫu phía trái và phía phải hội tụ về các giá trị khác nhau (hoặc một phía phân kỳ), thì giới hạn hai phía không tồn tại (DNE). Công cụ vẫn hiển thị từng giá trị một phía để bạn thấy sự không khớp.
Tôi có thể lấy giới hạn tại vô cực không?
Có. Nhập inf hay -inf làm điểm tiến tới và công cụ lấy mẫu x tại ±10, ±100, ±1000, … để ước lượng hành vi ở đầu mút. Ví dụ 1/x khi x → inf cho 0, và (1+1/x)^x tiến tới e ≈ 2.71828.
Tại sao sin(x)/x cho 1 tại x = 0?
Thế x = 0 cho dạng vô định 0/0, nhưng hàm số hoạt động tốt ở lân cận. Lấy mẫu từ cả hai phía — tại ±0.1, ±0.01, … — các giá trị khép lại về 1, đó là giới hạn đúng mà máy tính báo cáo.

Công cụ khác