UTILS.
100% trong trình duyệt
📈

Máy Tính Tiếp Tuyến & Pháp Tuyến

Tìm tiếp tuyến của y=f(x) tại x=a và pháp tuyến vuông góc, với độ dốc, tiếp điểm, và phương trình ở dạng hệ số góc-giao điểm và điểm-độ dốc.

Nhập f(x) dùng x làm biến và tiếp điểm a.

Về công cụ này

Máy Tính Tiếp Tuyến & Pháp Tuyến là một công cụ miễn phí, chạy hoàn toàn trên trình duyệt, tìm đường thẳng tiếp xúc với đường cong y = f(x) tại một điểm được chọn x = a. Độ dốc của tiếp tuyến đó là đạo hàm m = f′(a), và đường thẳng đi qua điểm (a, f(a)), cho phương trình y = m(x − a) + f(a). Máy tính lấy đạo hàm theo số trị, nên bạn có thể nhập bất kỳ hàm nào của x — đa thức, căn, lượng giác, mũ, logarit — mà không cần tự tính đạo hàm bằng tay.

Mọi thứ được tính cục bộ trong trình duyệt của bạn và không có gì bạn nhập được gửi đi đâu cả. Nhập hàm số dùng x làm biến (ví dụ x^2, sin(x), hay ln(x)) và tiếp điểm a, và công cụ báo cáo độ dốc, điểm (a, f(a)), và tiếp tuyến ở cả dạng hệ số góc-giao điểm y = m·x + c và dạng điểm-độ dốc. Nó cũng cho pháp tuyến — đường thẳng qua cùng điểm nhưng vuông góc với tiếp tuyến, với độ dốc −1/m — xử lý các trường hợp đặc biệt khi tiếp tuyến nằm ngang (m = 0), khi đó pháp tuyến là đường thẳng đứng x = a.

Tiếp tuyến là xấp xỉ đường thẳng tốt nhất cho một đường cong gần một điểm, đó là lý do nó là nền tảng của tuyến tính hóa, phương pháp Newton, và chính định nghĩa của đạo hàm. Với y = x² tại a = 2 độ dốc là f′(2) = 4 và điểm là (2, 4), nên tiếp tuyến là y = 4x − 4 và pháp tuyến là y = −0.25x + 4.5.

Câu hỏi thường gặp

Làm sao để tìm phương trình của một tiếp tuyến?
Tính độ dốc m = f′(a) (đạo hàm tại điểm) và điểm (a, f(a)). Tiếp tuyến là y = m(x − a) + f(a), sắp xếp lại thành dạng hệ số góc-giao điểm y = m·x + (f(a) − m·a). Máy tính này làm cả hai tự động.
Pháp tuyến là gì?
Pháp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại cùng điểm, nên độ dốc của nó là −1/m với m = f′(a). Nếu tiếp tuyến nằm ngang (m = 0) thì pháp tuyến là đường thẳng đứng x = a; nếu tiếp tuyến thẳng đứng thì pháp tuyến nằm ngang.
Độ dốc được tính như thế nào?
Đạo hàm f′(a) được đánh giá theo số trị dùng một sai phân đối xứng (f(a+h) − f(a−h)) / (2h) với một h rất nhỏ. Điều đó cho phép bạn nhập bất kỳ hàm nào của x mà không cần cung cấp đạo hàm của nó, và nó chính xác đến nhiều chữ số có nghĩa với các hàm trơn.
Tiếp tuyến của y = x² tại x = 2 là gì?
Đạo hàm là 2x, nên độ dốc tại x = 2 là 4, và điểm là (2, 4). Tiếp tuyến là y = 4x − 4, và pháp tuyến vuông góc là y = −0.25x + 4.5.

Công cụ khác