关于此工具
两曲线间面积计算器是一款免费的浏览器内工具，用于计算两个函数 f(x) 和 g(x) 之间围成的区域。面积是绝对差的积分 ∫|f(x) − g(x)| dx——使用绝对值，使得 f 在 g 之上的部分和 g 在 f 之上的部分都做正贡献而非相互抵消。两个函数都在你的浏览器本地被解析和积分，因此你输入的内容不会被上传。
以 x 作为变量输入两个函数（例如 f = x^2 和 g = x）。工具首先通过扫描 f − g 的符号变化并用二分法细化每一处，找出曲线相交的每个点，然后在这些交点处分割区间，用复合辛普森法则在每一段上对差值积分，对每一段取绝对值，从而正确处理交叉。你可以提供明确的积分限 a 和 b，或将两者都留空，计算器会在它找到的最外侧交点之间积分——即自然围成的区域。
这是微积分二中求有界区域面积的标准应用。结果面板报告总围成面积、所用的有效下限和上限，以及交点 x 值的列表。对于 f(x) = x² 和 g(x) = x，曲线在 x = 0 和 x = 1 处相交，围成的面积恰好为 1/6 ≈ 0.166667。
常见问题
两曲线间面积的公式是什么？
它是从 a 到 b 的 ∫ |f(x) − g(x)| dx。绝对值确保面积处处为正；在任何子区间上，它等于（上方曲线 − 下方曲线）的积分，这就是必须先定位交点的原因。
我必须输入积分限 a 和 b 吗？
不必。如果你将两个积分限都留空，计算器会找出曲线的交点并在最外侧的一对之间积分——即完全围成的区域。只有当你想要特定区间上的面积时才输入明确的积分限。
交叉区域是如何处理的？
工具定位 f 和 g 的每个交点，在每一处分割区间，并在每一段上分别对 |f − g| 积分。因为每一段都使用绝对差，曲线互换上下位置的区域会相加而不是相互抵消。
y = x² 和 y = x 之间的面积是多少？
它们在 x = 0 和 x = 1 处相交，其间 x 在 x² 之上，因此面积为 ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6 ≈ 0.1667，计算器会自动返回。