حاسبة طول القوس

حول هذه الأداة

حاسبة طول القوس أداة مجانية تعمل داخل المتصفح تقيس الطول الحقيقي لمنحنى y = f(x) بين قيمتي x، متتبّعة المسار المتعرّج بدلاً من المسافة المستقيمة. تطبّق الصيغة القياسية L = ∫ من a إلى b لـ √(1 + [f′(x)]²) dx، والتي تجمع القطع متناهية الصغر √(dx² + dy²) على طول المنحنى. تُحسب المشتقة f′(x) عددياً، فأي دالة في x تكتبها تعمل دون اشتقاقها.

يُحسب كل شيء محلياً في متصفحك بمحلّل تعبيرات صغير، فلا يُرفع أي شيء تدخله. أدخل الدالة بـ x كمتغير (على سبيل المثال x^2، sin(x)، أو x^(3/2)) وطرفي الفترة a و b، وتكامل الأداة مُكامَل طول القوس بقاعدة سيمبسون المركّبة، مضاعفة عدد الفترات الجزئية حتى تتفق التقديرات المتتالية إلى تفاوت محكم لنتيجة دقيقة. إذا أدخلت الطرفين بأي ترتيب فهي تستخدم الفترة بينهما.

طول القوس تطبيق كلاسيكي في التفاضل والتكامل 2 للمسافة المقطوعة على منحنى — طول طريق أو سلك أو رسم. تُظهر لوحة النتيجة أيضاً مسافة الوتر المستقيم بين الطرفين للمقارنة، والتي تكون دائماً أقصر قليلاً من طول القوس الحقيقي. من أجل y = x² من x = 0 إلى x = 1 طول القوس نحو 1.478943، أطول بشكل ملحوظ من الوتر √2 ≈ 1.414214.

الأسئلة الشائعة

ما صيغة طول القوس؟

بالنسبة لمنحنى y = f(x)، طول القوس من a إلى b هو L = ∫ من a إلى b لـ √(1 + [f′(x)]²) dx. يأتي من جمع القطع الصغيرة √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx على طول المنحنى.

كيف يُقيّم التكامل؟

عددياً، بقاعدة سيمبسون المركّبة. تبدأ الأداة عند 1000 فترة جزئية وتضاعفها مراراً حتى يتفق تقديران متتاليان إلى تفاوت محكم، فتكون النتيجة دقيقة للدوال السلسة دون أي تكامل رمزي.

لماذا طول القوس أطول من الوتر؟

الوتر هو المسافة المستقيمة بين الطرفين، بينما يتبع طول القوس كل انحناءة في المنحنى. ما لم يكن المنحنى خطاً مستقيماً بين النقطتين، فالمسار المتعرّج أطول دائماً، لذا طول القوس ≥ مسافة الوتر.

ما طول قوس y = x² من 0 إلى 1؟

يساوي نحو 1.478943. وهذا أطول من مسافة الوتر المستقيم من (0, 0) إلى (1, 1)، وهي √2 ≈ 1.414214، لأن القطع المكافئ ينحني بين الطرفين.

حول هذه الأداة

الأسئلة الشائعة

المزيد من الأدوات