ماشین‌حساب طول کمان

Q: انتگرال چگونه ارزیابی میشود؟

بهصورت عددی، با قاعده سیمپسون مرکب. ابزار از 1000 زیربازه شروع میکند و آنها را مکرراً دو برابر میکند تا دو تخمین متوالی به یک تلورانس تنگ توافق کنند، بنابراین نتیجه برای توابع صاف بدون هیچ انتگرالگیری نمادین دقیق است.

Q: طول کمان y = x² از 0 تا 1 چقدر است؟

به حدود 1.478943 ارزیابی میشود. این بلندتر از فاصله وتر مستقیم از (0, 0) تا (1, 1) است که √2 ≈ 1.414214 است، زیرا سهمی بین دو نقطه انتهایی خمیده میشود.

درباره این ابزار

ماشین‌حساب طول کمان یک ابزار رایگان و درون‌مرورگری است که طول واقعی یک منحنی y = f(x) را بین دو مقدار x اندازه می‌گیرد، با دنبال کردن مسیر پیچ‌درپیچ به‌جای فاصله خط راست. این ابزار فرمول استاندارد L = ∫ از a تا b از √(1 + [f′(x)]²) dx را اعمال می‌کند که قطعات بی‌نهایت کوچک √(dx² + dy²) را در امتداد منحنی جمع می‌کند. مشتق f′(x) به‌صورت عددی محاسبه می‌شود، بنابراین هر تابعی از x که تایپ کنید بدون مشتق‌گیری آن کار می‌کند.

همه چیز به‌صورت محلی در مرورگر شما با استفاده از یک تجزیه‌کننده عبارت کوچک محاسبه می‌شود، بنابراین هیچ‌چیزی که وارد می‌کنید بارگذاری نمی‌شود. تابع را با x به‌عنوان متغیر (برای مثال x^2، sin(x) یا x^(3/2)) و نقاط انتهایی بازه a و b را وارد کنید، و ابزار تابع زیرانتگرال طول کمان را با قاعده سیمپسون مرکب انتگرال‌گیری می‌کند و تعداد زیربازه‌ها را دو برابر می‌کند تا تخمین‌های متوالی برای یک نتیجه دقیق به یک تلورانس تنگ توافق کنند. اگر نقاط انتهایی را به هر ترتیب وارد کنید از بازه بین آنها استفاده می‌کند.

طول کمان یک کاربرد کلاسیک حساب دیفرانسیل ۲ برای فاصله طی‌شده در امتداد یک منحنی است — طول یک جاده، سیم یا نمودار. پنل نتیجه همچنین فاصله وتر مستقیم بین نقاط انتهایی را برای مقایسه نشان می‌دهد که همیشه کمی کوتاه‌تر از طول کمان واقعی است. برای y = x² از x = 0 تا x = 1 طول کمان حدود 1.478943 است که به‌طور محسوسی طولانی‌تر از وتر √2 ≈ 1.414214 است.

پرسش‌های پرتکرار

فرمول طول کمان چیست؟

برای یک منحنی y = f(x)، طول کمان از a تا b برابر L = ∫ از a تا b از √(1 + [f′(x)]²) dx است. این از جمع کردن قطعات کوچک √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx در امتداد منحنی به‌دست می‌آید.

انتگرال چگونه ارزیابی می‌شود؟

به‌صورت عددی، با قاعده سیمپسون مرکب. ابزار از 1000 زیربازه شروع می‌کند و آنها را مکرراً دو برابر می‌کند تا دو تخمین متوالی به یک تلورانس تنگ توافق کنند، بنابراین نتیجه برای توابع صاف بدون هیچ انتگرال‌گیری نمادین دقیق است.

چرا طول کمان بلندتر از وتر است؟

وتر فاصله خط راست بین نقاط انتهایی است، در حالی که طول کمان هر پیچ منحنی را دنبال می‌کند. مگر اینکه منحنی یک خط راست بین نقاط باشد، مسیر پیچ‌درپیچ همیشه بلندتر است، بنابراین طول کمان ≥ فاصله وتر.

طول کمان y = x² از 0 تا 1 چقدر است؟

به حدود 1.478943 ارزیابی می‌شود. این بلندتر از فاصله وتر مستقیم از (0, 0) تا (1, 1) است که √2 ≈ 1.414214 است، زیرا سهمی بین دو نقطه انتهایی خمیده می‌شود.

درباره این ابزار

پرسش‌های پرتکرار

ابزارهای بیشتر