このツールについて
臨界点・極値計算機は、曲線 y = f(x) の形状を解析する無料のブラウザ内ツールです。一次導関数 f′(x) が 0 に等しくなる x 値（水平な接線）である臨界点を、探索区間で f′ の符号変化を走査し、各点を二分法で精緻化することで求めます。一次と二次の両導関数が数値的に計算されるため、自分で微分することなく x の任意の関数を入力できます。
すべてがブラウザ内でローカルに計算されるため、入力した内容はアップロードされません。x を変数として関数を入力し（たとえば x^3 - 3*x、sin(x)、x^4 - 2*x^2）、探索区間を入力すると、ツールは各臨界点をその座標 (x, f(x)) と分類とともに一覧表示します。各臨界点は二次導関数判定法で分類されます。f″ > 0 は極小（下に凸）、f″ < 0 は極大（上に凸）を意味し、f″ が 0 近くのときは一次導関数の符号変化判定に切り替えて極値を鞍点／変曲から区別します。
計算機は変曲点、すなわち凹凸が反転する点（f″(x) が符号を変える点）も求め、同じ表で x でソートして報告します。これは微積分学 I の標準的な曲線描画ツールキットです。f(x) = x³ − 3x では x = −1 に極大（値 2）、x = 1 に極小（値 −2）、x = 0 に変曲点を見つけます。
よくある質問
臨界点とは何ですか？
f の臨界点は f′(x) = 0 または f′ が未定義となる x 値、すなわち接線が水平であるか導関数が存在しない点です。滑らかな関数の極大と極小は臨界点でしか起こり得ません。
二次導関数判定法はどう機能しますか？
臨界点 x_c で、f″(x_c) > 0 なら曲線は下に凸なので極小、f″(x_c) < 0 なら上に凸なので極大です。f″(x_c) = 0 なら判定は不確定で、このツールは両側での f′ の符号確認に切り替えます。
変曲点とは何ですか？
変曲点は曲線の凹凸が変わる点、すなわち二次導関数 f″(x) が符号を変える点です。計算機は f″ の符号変化を走査して精緻化することでこれらを求め、臨界点と並べて一覧表示します。
なぜ探索区間を設定するのですか？
数値走査は指定した x 範囲内でのみ臨界点と変曲点を探します。より遠くの点を捉えるには区間を広げ、ある領域に集中するには狭めてください。区間の端ちょうどの点は見逃されることがあるため、余裕を含めてください。